Beauté Mathématique

 Depuis l’Antiquité déjà, les relations entre beauté, harmonie et propriétés mathématiques étaient fondées sur une démarche commune: les proportions, les relations numériques, les propriétés de symétrie sont largement définies dans la « pensée pythagoricienne ».

 Le platonisme en releva aussi le défi dans la culture occidentale. Une modélisation de la Nature semble motiver ces deux domaines, une soif de vérité.

 Beauté dans les formules, dans les méthodes, dans les théorèmes, dans l’expérience… Les mathématiciens sont en quête de ce plaisir esthétique: ils parlent d’ « activité créatrice », de magie dans la découverte. Les termes formulés par Bertrand Russel en donnent toute la mesure: « les mathématiques, considérées à leur juste mesure, possèdent non seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide et austère, comme celle d’une sculpture, sans référence à une partie de notre fragile nature, sans les effets d’illusion magnifiques de la peinture ou de la musique, pourtant pure et sublime, capable d’une perfection absolue telle que seulement les plus grands arts peuvent la montrer.

 L’esprit vrai du plaisir, l’exaltation, l’impression d’être plus qu’un homme, qui est la pierre de touche de l’excellence la plus élevée, doit être prouvé dans les mathématiques aussi sûrement que la poésie. »

 Mais quel sens donner aux énoncés?

 Pourquoi associer systématiquement l’esprit scientifique à l’esprit esthète?

 Le monde est-il vraiment mathématique ou est-ce seulement notre esprit qui cherche à l’être?

 Ne cherchons nous pas plutôt à soumettre l’apparent désordre du monde au dictat logique de l’ordre des mathématiques?

 Pour répondre à toutes ces questions, il est nécessaire de confronter les deux principaux courants scientifiques : les constructivistes et les rationalistes. Pour les premiers, toute construction mathématique n’existe pas réellement et ne peut trouver naissance que dans les pensées des mathématiciens. Elles ne sont que pures créations de l’esprit humain, créations étroitement liées à notre manière d’appréhender le monde. C’est l’opinion des philosophes empiristes tels que Locke ou Hume, pour qui « toutes nos idées ne sont que copies de nos impressions ».

 Toute forme géométrique n’a d’existence réelle que dans les formes de la Nature.

 Les rationalistes semblent au contraire en relation directe avec le « monde des idées » de Platon. Il existerait, selon eux, un « monde des mathématiques » totalement indépendant du cerveau humain qui les découvre, existant depuis la nuit des temps et avec lequel nous pourrions entrer en contact. René Descartes, fervent dépositaire de cette théorie, écrivait dans « ses méditations métaphysiques » à propos de la géométrie: « Lorsque j’imagine un triangle, encore qu’il n’y ait peut-être en aucun lieu du monde hors de ma pensée une telle figure, et qu’il n’y en ait jamais eu, il ne laisse pas néanmoins d’y avoir une certaine nature ou forme, ou essence déterminée de cette figure, laquelle est immuable et éternelle, que je n’ai point inventée et qui ne dépend en aucune façon de mon esprit ».

 Pour le mathématicien britannique Roger Penrose: « La vérité mathématique va au-delà du pur formalisme.

 Les concepts mathématiques semblent posséder une réalité profonde, qui vont au delà des discussions de tel ou tel mathématicien.

 C’est comme si la pensée humaine était guidée vers une vérité extérieure, une vérité qui a sa réalité propre et qui n’est que partiellement révélée à chacun d’entre nous ». Cette formidable aptitude des mathématiques à décrire le monde réel ne peut se réduire qu’à une simple construction de l’esprit humain.

 Une chose est sûre, pour Penrose, seul l’esprit peut avoir accès au monde platonicien des mathématiques: «  Selon Platon, les concepts et les vérités mathématiques résident dans un monde réel dépourvu de toute notion de localisation spatio-temporelle.

 Le monde de Platon, distinct du monde physique, est un monde idéal de formes parfaites à partir duquel nous devons comprendre ce monde physique.

 Bien que l’univers platonicien ne se laisse pas réduire à nos constructions mentales imparfaites, notre esprit y a toutefois directement accès, grâce à une « connaissance immédiate » des formes mathématiques et à une capacité de raisonner sur ces formes. Nous verrons que si notre perception platonicienne peut à l’occasion s’aider du calcul, elle n’est pas limitée par ce dernier.

 C’est ce potentiel de « connaissance immédiate » des concepts mathématiques, cet accès direct au monde platonicien, qui confère à l’esprit un pouvoir supérieur à celui de tout dispositif dont l’action repose uniquement sur le calcul ».

 Ce sentiment d’une réalité mathématique indépendante de note esprit est partagée par de nombreux scientifiques tel le physicien allemand Heinrich Hertz: « nous ne pouvons nous empêcher de penser que les formules mathématiques ont une vie propre, qu’elles en savent plus que leurs découvreurs et qu’elles nous donnent plus que nous leur avons donné. » Ce sentiment d’existence propre est fortement étayé par cette intuition, cette illumination soudaine, inattendue puisque perçue dans un contexte bien souvent étranger au domaine en question.

 Dans le recueil « matière à pensée » Coécrit par J.Pierre Changeux et Alain Connes (membres de l’Académie des Sciences), ce dernier témoigne sur le sujet: « Au moment où elle a lieu, l’illumination implique une part considérable d’affectivité, de sorte que l’on ne peut rester passif ou indifférent. Les rares fois où cela m’est réellement arrivé, je ne pouvais m’empêcher d’avoir les larmes aux yeux. J’ai souvent observé la chose suivante: une fois la première étape de préparation franchie, on se heurte à un mur. L’ erreur à ne pas commettre consiste à attaquer cette difficulté de manière frontale.

 L’expérience montre que si l’on s’attaque à un problème directement, on épuise très vite toutes les ressources de la « pensée directe », rationnelle. Ce qui est frappant, c’est l’importance, quand je parle de procéder indirectement, de l’éloignement apparent entre le problème initial et le champ d’investigation du moment.

 Le mathématicien doit évidemment disposer d’une sérénité suffisante. On peut parvenir ainsi à une sorte d’état contemplatif qui n’a rien à voir avec la concentration d’un étudiant en mathématiques qui passe un examen. » C’est ainsi qu’Archimède put crier « Eurêka ! » dans sa baignoire…

 Nombre d’exemples viennent étayer cette constatation tout comme celui d’Henri Poincaré qui eut lui aussi une illumination en montant sur le marchepied d’un omnibus: « l’idée me vint, sans que rien dans mes pensées antérieures parût m’y avoir préparé… » ou celui du chimiste Kekulé von Stradonitz, qui aurait, grâce à un rêve saisissant découvert la formule cyclique du benzène.

 Un des exemples les plus souvent cités est celui du mathématicien indien Srinivasa Ramanujan. Cet autodidacte né en 1887 dans une modeste famille indienne n’avait reçu qu’une éducation sommaire, celle accordée à un enfant pauvre de Madras. Il s’intégra, à sa façon, au monde scientifique, en énonçant un grand nombre de nouveaux théorèmes, de façon totalement intuitive.

 Godfrey Hardy, mathématicien anglais s’empara de ses résultats. D’après ce dernier « les théorèmes de Ramanujan n’ont pu sortir que de l’esprit d’un mathématicien de la plus haute distinction. » « Au jeu dont il connait les règles, Ramanujan battrait à plate couture n’importe quel mathématicien. »

 Trinh Xuan Thuan, célèbre astrophysicien, conclut sur le sujet: « Les problèmes que Ramanujan abordait de manière si originale et si intuitive étaient généralement les mêmes que ceux qui préoccupaient les mathématiciens plus traditionnels de son époque.

 Cette coïncidence constitue un argument de plus en faveur de la thèse d’une existence objective des mathématiques. Voici quelqu’un qui sort d’un milieu culturel et social radicalement différent, qui n’a pas été formé dans le moule académique traditionnel, mais qui retrouve les mêmes idées mathématiques que ses homologues plus conventionnels.

 Apparemment, Ramanujan a puisé son inspiration dans le même monde platonicien des formes mathématiques que ses collègues. Un accès au monde des Idées que nous ne pouvons nous empêcher d’invoquer quand nous entendons parler de personnes capables de calculs mentaux prodigieux, multipliant sans faute des nombres comportant des centaines de chiffres chacun sans avoir la moindre idée du processus mental qui les conduit au résultat, ou de « savants autistes », handicapés psychologiques, capables de résoudre des problèmes mathématiques devant lesquels la plupart d’entre nous s’avoueraient vaincus. »

 Tout comme Trinh Xuan Thuan, Jean Staune, scientifique et philosophe, croit fermement à cette intuition spirituelle et s’applique à le démontrer en s’appuyant simplement sur… un résultat scientifique: le théorème de GÖDEL. Ce théorème, dit « théorème d’incomplétude », modifia radicalement la vision traditionnelle des mathématiques.

 Selon ce théorème il n’est pas possible de démontrer par la logique qu’un système est cohérent en restant à l’intérieur de ce système et qu’un système d’arithmétique cohérent contient inévitablement des propositions « indécidables », c’est-à-dire des énoncés mathématiques dont on ne pourra jamais dire par la logique s’ils sont vrais ou faux.

 GÖDEL dira: « Il semble que l’on puisse réfuter l’idée que les mathématiques soient une création de l’esprit humain. Cela implique que les objets et les faits mathématiques existent objectivement et indépendamment de nos actions mentales et nos décisions . »

 Il existe donc une fascination réelle pour l’harmonie, l’ordre et l’équilibre dans les phénomènes : les scientifiques ont en commun cette vision de l’esthétisme dans les formules. Leur motivation première est simple : l’harmonie des régularités dans les concepts. Citons une nouvelle fois le mathématicien Godfrey Hardy: « Les bâtis du mathématicien, comme ceux du peintre et du poète, doivent être beaux ; les idées comme les couleurs ou les mots, doivent convenir ensemble de façon harmonieuse. La beauté est la première mise à l’épreuve ; il n’y a pas de place durable en ce monde pour des mathématiques qui seraient laides.

 Il est sans doute très difficile de définir la beauté mathématique, mais cela est vrai aussi de toute sorte de beauté: nous ne pouvons pas savoir du tout ce que nous entendons par un beau poème, ce qui n’empêche nullement sa reconnaissance dès que nous en lisons un. »

 Les mathématiques nous apprennent plus sur nous-mêmes et notre esprit que sur la nature. Les mathématiques ne sont peut-être pas là pour nous parler de la réalité matérielle : le monde qu’elles décrivent n’est peut-être qu’une gigantesque hallucination.

 « Si les objets mathématiques sont des fictions, c’est parce qu’ils sont inséparables des actes de production qui les engendrent et qu’ils consistent, au fond, en des constructions sans vis-à-vis. » Jean-Pierre Cléro affirme que récuser le platonisme, c’est-à-dire ne pas accorder que l’objet puisse être autre chose que ce qui est constitué, construit, c’est comprendre que tout ce que fait le mathématicien et ce sur quoi il travaille relève de la fiction. Pour lui, le platonisme « donne l’avantage apparent d’unifier le monde des mathématiques, comme si les méthodes ne faisaient que viser différemment les mêmes objets, dont la connaissance s’approfondirait toujours.

 En réalité, cette mise bout-à-bout d’objets n’est qu’un fantasme unitaire. Les illusions de la mesure idéale, de la généralité, de la substance se fabriquent invariablement selon les mêmes coups de force logiques.

 Le procédé par lequel on s’illusionne comprend toujours l’un ou l’autre, voire l’ensemble de ces actes rendus possible par le langage : une extension au-delà de ce qu’on dénombre ou fait réellement, un emplissage fantasmatique de ce qu’il est impossible de parcourir réellement, une délégation auprès d’un être idéal censé faire les opérations qu’on ne saurait effectuer soi-même, une inversion de sorte que le sujet se divise et ignore sa division, se figurant avoir affaire à un objet qui vient à sa rencontre. Cette imagination ne peut prendre consistance que par l’appui des signes et des symboles. » Cette dernière notion est très importante car c’est fondamentalement le fait de disposer de signes qui permet ces opérations. Le mathématicien manipule des concepts par procédures mentales selon une série de raisonnements : il s’est créé un langage propre à visée universelle.

 Le mathématicien met en avant la cohérence de ses perceptions et leur permanence. Mais qu’est-ce qui prouve la réalité de ce monde matériel en dehors de la perception que notre cerveau en a ?

 Pour Alain Connes « c’est la cohérence du toucher et de la vue pour un seul et même individu. Et la cohérence entre la perception de plusieurs individus.

 La réalité mathématique est de la même nature. Un calcul effectué de plusieurs manières différentes donne le même résultat, qu’il soit fait par un seul individu ou par plusieurs. Il est vrai que les mathématiques sont utilisées comme un langage par d’autres sciences.

 Mais on ne saurait, sans commettre une erreur grave, les réduire à n’être qu’un langage. » Cette cohérence de la perception est toujours mentale.

 C’est notre cerveau qui formate nos sens. Jean-Pierre Changeux soulève bien la contradiction de tels propos: « Le  « réalisme » c’est d’abord la doctrine platonicienne selon laquelle les Idées font partie d’un monde distinct du monde matériel, et ont une existence effective à un plus haut degré que les êtres individuels et sensibles qui ne seraient que leur reflet et leur image.

 Mais c’est aussi la doctrine d’après laquelle l’être est indépendant de la connaissance actuelle qu’en ont les sujets conscients.

 Enfin est « réaliste » celui qui postule une différence de nature entre l’être et la pensée : l’être ne peut ni être déduit de la pensée, ni s’exprimer de façon adéquate et exhaustive en termes logiques. Pour moi, la matière sous ses divers états, existe indépendamment de la pensée humaine et de la connaissance actuelle que les sujets conscients en ont.

 La pensée humaine, elle-même expression d’un état particulier de la matière, tente de décrire cet « en soi ». L’existence de cette « réalité mathématique » me parait liée à la pensée de l’homme. ».

 La fiction est partout présente en mathématique. Le mathématicien s’appuie sur des signes, des symboles: « les signes et symboles de l’arithmétique sont des figures écrites et les formules géométriques sont des formules dessinées; aucun mathématicien ne pourrait se passer de ces formules dessinées, pas plus qu’il ne pourrait, dans les calculs, se passer de parenthèses, de crochets, ou autres signes analytiques » nous dit David Hilbert. Le mathématicien introduit sciemment des notions contradictoires, des grandeurs dans les équations pour y obtenir un effet, puis il les retire pour se faciliter la résolution de certains problèmes, il substitue, il combine sous le même terme des éléments opposés, il généralise, il fait abstraction, il symbolise, il décompose, divise à l’infini, intercale, transgresse.

 C’est le cas de la renormalisation en physique : à partir d’ une formule mathématique prenant une valeur infinie on en soustraie quelques termes infinis pour obtenir le résultat désiré dans le fini ! On peut se permettre aussi de « récupérer » des modèles ultérieurement rejetés pour obtenir des calculs d’une très grande précision.

 L’exemple du cercle possédant à lui seul plusieurs définitions formule bien cette volonté de prouver par le langage mathématique la consistance propre de chaque objet. Pour Jean-Pierre Cléro « le platonisme donne l’avantage apparent d’unifier le monde des mathématiques, comme si les méthodes ne faisaient que viser différemment les mêmes objets, dont la connaissance s’approfondirait toujours: le cercle d’Euclide, le cercle d’Archimède, celui de la « géométrie » de Descartes, la circulaire leibnizienne de l’analysis situs et des diverses topologies ne seraient que des versions de l’immuable cercle inscrit dans un ciel intelligible.

 En réalité, cette mise bout à bout d’objets aussi hétéroclites comme s’il se fût agi du même n’est qu’un fantasme unitaire. On pourrait le montrer sur tous les objets et sur toutes les opérations mathématiques. »

 Galilée disait que tout ce qui ne relevait pas de l’étude des propriétés mesurables et quantifiables des corps matériels n’était pas de la science: « le livre (notre monde) est écrit dans le langage des mathématiques dont les symboles sont les triangles, cercles et autres figures géométriques sans l’aide desquels il est humainement impossible d’en comprendre le moindre mot. »

 Alors, le monde serait-il vraiment mathématique ou ne serait-ce qu’un moyen, une grille de lecture choisie par l’homme pour appréhender l’existence apparente des phénomènes qui le constituent?

 Mathieu Ricard, biologiste et spécialiste du bouddhisme, associe lui aussi cette faculté de formuler des lois en termes d’équations, de nombres, de relations au produit de la pensée conceptuelle: « Le fait que ce que nous concevons soit en accord avec la réalité que nous percevons n’a rien d’étonnant.

 Notre manière d’explorer puis d’ordonner nos perceptions du monde est nécessairement en accord avec nos concepts mathématiques, parce que nos perceptions et nos concepts sont tous deux des produits de notre esprit//selon notre degré d’intelligence les concepts mathématiques mettent en évidence certains aspects de l’interdépendance des phénomènes.

 Le poète interprètera les correspondances entre notre esprit et les phénomènes en termes de beauté. Le physicien les exprimera par une formule mathématique. L’univers n’est pas « trop compliqué » pour notre conscience car c’est notre conscience qui détermine notre univers.

 Le degré de complexité des lois physiques reflète le degré d’intelligence des mathématiciens qui les ont formulées. Ce serait donc une erreur que de considérer les mathématiques et les lois physiques comme plus «malignes» que l ’esprit qui les conçoit. De même, des lois plus complexes que celles qui leur sont intelligibles n’existent pas pour les mathématiciens, car ils sont incapables de les concevoir. »

 Il est vrai que prétendre atteindre la vérité ultime nécessite posséder une rigueur à la fois dans la formulation des théorèmes et dans l’approche expérimentale, celle de l’observation.

 Les mathématiciens tout comme les scientifiques s’appuyant sur les résultats de ces derniers sont bien loin de l’objectif fixé. La nature fractale de la Nature, en d’autre terme son irrégularité, rend plus que difficile la capacité d’en tirer une mesure fiable, précise. De même la calculabilité au sein des mathématiques n’est pas un domaine où la rigueur soit de mise: nous l’avons constaté lors des « arrangements » consentis dans l’élaboration des théories… (modifications de variables, renormalisation…).

 Il est clair que la subjectivité ressort à chaque étape de l’élaboration de la formule. C’est la signification que le mathématicien donne à l’ensemble de l’acte qui oriente la recherche jusqu’à son résultat et non des faits objectifs aboutissant à la théorie.

 L’expérimentation est sans doute le point le plus litigieux que nous avons détaillé dans le module « physique »; une question fondamentale à se poser: dans quel mesure le phénomène observé n’est-il pas engendré par l’acte même d’observation? Interférence due au type de matériel utilisé pout l’observation et à la perception même de l’observateur.

 Une conclusion?

 Pourquoi pas celle de Vahé Zartarian :« La méthode scientifique permet seulement de construire des théories provisoires et fragmentaires ayant pour vertu de faciliter l’action dans des domaines étroits et précisément délimités. Elle ne saurait en aucun cas prétendre fournir une description fidèle de la réalité. Elle n’est finalement guère différente de la perception, ce qui n’est pas pour surprendre si l’on songe que les dispositifs expérimentaux ne sont rien d’autre que des extensions de nos organes sensoriels. C’est également pour cette raison que derrière toutes les constructions théoriques, nous trouvons un Modèle du Monde implicite donné à priori, le modèle de la machine. »